פישר נולד ברודזיה הצפונית (כיום זמביה), ונשא את השם העברי שלמה בן פסח הכהן. בילדותו הצטיין במקצועות הריאליים, אך פנה לתחום הכלכלה בהמלצת ידיד משפחה. הוא סיים תואר ראשון בכלכלה בבית הספר לכלכלה של לונדון (LSE), השלים תואר שני בלונדון, ובהמשך למד לדוקטורט בכלכלה ב-MIT בשנת 1969.
לאחר שנות פעילות בזירה הבינלאומית, נענה ב-2005 להצעת ראש הממשלה אריאל שרון ושר האוצר בנימין נתניהו, והתמנה לתפקיד נגיד בנק ישראל, אז עלה לישראל וקיבל אזרחות ישראלית. ב-2010 מונה לכהונה שנייה, בתקופה שהייתה מלווה במתח ציבורי סביב תיקון חוק בנק ישראל.
פישר זכה להוקרה רבה על תפקודו כנגיד: מגזין Global Finance העניק לו את הציון הגבוה ביותר (A) בשנת 2010 ובשנית ב-2011, ומגזין Euromoney בחר בו כנגיד השנה לשנת 2010. ב-2011 ניסה להתמודד על תפקיד יו"ר קרן המטבע הבינלאומית, אך נפסל בשל מגבלת גיל. בינואר 2013 הודיע על פרישתו מתפקיד נגיד הבנק, שהושלמה ביוני אותה שנה, וקרנית פלוג מונתה למחליפתו.
פרופ' פישר נחשב לאחד הכלכלנים המובילים בעולם בתחילת המאה ה-21. הוא כתב ספרים שזכו להערכה רבה בעולם הכלכלה, ואף פרסם מחקרים שנלמדו באוניברסיטאות רבות ברחבי העולם. באפריל 2013 הוענק לו פרס הרצוג על תרומה ייחודית למדינת ישראל.
